✅ Умножение дробей. Умножение и деление дробей

В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21

А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

2 3 : 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.

В буквенном виде правило можно записать как a b · c d = a · c b · d . Здесь a , b , c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

Это правило можно также записать как a b : c d = a b · d c = a · d b · c . Буквы a , b , c и d здесь означают многочлены, из которых a , b , c и d не могут быть нулевыми.

Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.

Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

Читать еще: Рисунки по черчению. Техническое рисование

Условие: умножьте дробь 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5 , а потом разделите одну дробь на другую.

Решение

Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y ( x + y ) · ( x 2 + 5 )

Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

1 · 3 · x · y ( x + y ) · ( x 2 + 5 ) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y

Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y :

1 x + y : 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y

Приведем полученную дробь к стандартному виду:

1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 ( x + y ) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2

Ответ: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y ; 1 x + y : 3 · x · y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2 .

Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

Условие: перемножьте дроби x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 — 1 .

Решение

Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x ( x — 1 ) · ( x + 1 ) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1

У нас получилась дробь, которую можно сократить:

x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = x + 1 3 · x 2 · ( x — 1 )

О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

x + 1 3 · x 2 · ( x — 1 ) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2

Вот запись всего решения без пояснений:

x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x ( x — 1 ) · ( x + 1 ) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · ( x — 1 ) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2

Ответ: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2 .

В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

Условие: разделите 2 1 7 · x — 1 на 12 · x 7 — x .

Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 2 1 7 · x — 1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

2 1 7 · x — 1 = 7 · 2 7 · 1 7 · x — 1 = 14 x — 7

Видим, что знаменатель дроби 12 · x 7 — x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12 · x 7 — x , получим 12 · x 7 — x = — 12 · x x — 7 .

Читать еще: О древнерусской литературе. Древнерусская литература

После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

2 1 7 · x — 1 : 12 · x 7 — x = 14 x — 7 : — 12 · x x — 7 = 14 x — 7 · x — 7 — 12 · x = 14 · x — 7 x — 7 · — 12 · x = = 14 — 12 · x = 2 · 7 — 2 · 2 · 3 · x = 7 — 6 · x = — 7 6 · x

Ответ: 2 1 7 · x — 1 : 12 · x 7 — x = — 7 6 · x .

Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x 2 + x − 4 на x 2 + x − 4 1 . Полученные выражения будут тождественно равны.

Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 .

Решение

Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.

x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 = x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 1 = x + 4 5 · x · y · 1 x 2 — 16 = = x + 4 5 · x · y · 1 ( x — 4 ) · x + 4 = ( x + 4 ) · 1 5 · x · y · ( x — 4 ) · ( x + 4 ) = 1 5 · x · y · x — 4 = = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y

Ответ: x + 4 5 · x · y : x 2 — 16 = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y .

Умножение и деление обыкновенных дробей

Умножение дробей

Чтобы умножить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (это произведение будет числителем результата), и знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби (это произведение будет знаменателем результата):

Правило умножения обыкновенных дробей в виде формулы:

Для упрощения вычислений, ещё до выполнения умножения дробей, можно сокращать любой множитель числителя с любым множителем знаменателя на общий делитель.

При сокращении числителей со знаменателями их обычно зачёркивают и рядом пишут число, которое получилось после сокращения:

В примере мы сократили 25 и 20 на общий делитель – 5, а 27 и 12 на общий делитель – 3.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы умножить натуральное число на обыкновенную дробь или наоборот – умножить дробь на натуральное число, можно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить без изменений:

Деление дробей

При делении одной обыкновенной дроби на другую, нужно перевернуть вторую дробь и после этого умножить первую дробь на вторую, т. е. нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй (это произведение будет числителем результата), а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй (это произведение будет знаменателем результата):

Для проверки правильности выполненного деления, можно полученное частное умножить на делитель и посмотреть, получится ли у нас делимое, если делимое получено верно, значит деление было выполнено правильно:

Теперь осталось только сократить полученную дробь:

Правило деления обыкновенных дробей в виде формулы:

Читать еще: Женема па сис жур. «Месье, же не манж па сис жур…

Иногда могут встретиться записи такого вида:

Так как черта дроби означает деление, то такие записи можно переписать в более удобном виде:

В записях, в которых черта дроби используется несколько раз, знак = ставится у черты дроби, означающей последнее по порядку действие деления:

Деление дроби на натуральное число

Чтобы обыкновенную дробь разделить на натуральное число или наоборот – натуральное число разделить на дробь, нужно просто представить натуральное число в виде дроби.

Калькулятор умножения и деления дробей

Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение или деление обыкновенных дробей. Просто введите две дроби, выберите нужную операцию и нажмите кнопку Вычислить .

Kid-mama

Онлайн игры,тренажеры,презентации,уроки,энциклопедии,статьи

Main menu

Умножение и деление обыкновенных дробей

Умножение дробей

Например:

Например:
Деление дробей

48-2932226

Для того, чтобы понять, как делить одну дробь на другую, нужно сначала вспомнить, что такое взаимно обратные числа :

Чтобы найти обратное число у дроби, нужно просто перевернуть эту дробь.

52-1155344 При умножении и делении дробей на целые натуральные числа, можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1 .

Например:

Ещё примеры деления дробей:

Тренажёр 1

Умножение и деление обыкновенных дробей

Навигация (только номера заданий)

0 из 20 заданий окончено

Информация

Выполните умножение или деление и введите ответ. Сократите дробь, если это возможно. Неправильную дробь переведите в смешанное число, иначе будет засчитана ошибка.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 20

Вы набрали 0 из 0 баллов ( 0 )

Тренажёр 2

Деление обыкновенных дробей

Навигация (только номера заданий)

0 из 20 заданий окончено

Информация

Тренируемся делить обыкновенные дроби. Если вы забыли, как это делается, напоминаем, что деление на дробь выполняется при помощи умножения на обратную дробь. Подробно обо всех случаях деления читайте в статьях:

Некоторые примеры сложно решить в уме, поэтому решайте их на бумаге. В каждом примере необходимо ввести только ответ. Если получилась неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанную, то есть выделить целую часть. После того, как введете все числа, нажмите кнопку «Проверить». При неправильном значении число выделится красным цветом, а в скобках рядом будет показан правильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/umnozhenie-i-delenie-algebraicheskih-drobej/
http://naobumium.info/arifmetika/obyknovennye_drobi7.php
http://kid-mama.ru/obyknovennye-drobi/umnozhenie-i-delenie-obyknovennyx-drobej/